Chứng minh rằng: $\forall x$ mà $|x| \le 1$ thì $|P'(x)| \le n^2$.

Cho đa thức $P(x)$ bậc $n$. Biết rằng $\left | P(x) \right | \le 1$ $\forall x$ thỏa $|x| \le 1$.
Chứng minh rằng: $\forall x$ mà $|x| \le 1$ thì $|P'(x)| \le n^2$.

Định lý Berstein -Markow 

Lời giải

Đặt $x=\cos a$ theo giả thiết $|P(\cos a|\le 1$
$P(\cos a) $ có dạng $P(\cos a)=\sum_{j=0}^n(a_j\cos j\alpha+b_j \sin j\alpha)$
Sử dụng kết quả sau: giả thiết đa thức $P_{n-1}(x)$ thỏa đk $n\ge 1$ thì $|P_{n-1}(x)|\le n\forall x\in [-1;1]$
ta được $|\sin \alpha f'_n(\cos \alpha)|\le n\Rightarrow \sqrt{1-x^2}|\frac{P'_n(x)}{n}|\le 1$
Sử dụng tiếp kết quả trên ta có $$|\frac{P'_n(x)}{n}|\le n \Rightarrow |P'(x)|\le n^2$$
Từ đây ta có điều cần chứng minh. $\blacksquare$