Processing math: 100%

Thứ Tư, 28 tháng 11, 2012

Chứng minh rằng: \forall x|x| \le 1 thì |P'(x)| \le n^2.

Cho đa thức P(x) bậc n. Biết rằng \left | P(x) \right | \le 1 \forall x thỏa |x| \le 1.
Chứng minh rằng: \forall x|x| \le 1 thì |P'(x)| \le n^2.
Định lý Berstein -Markow 
Lời giải

Đặt x=\cos a theo giả thiết |P(\cos a|\le 1
P(\cos a) có dạng P(\cos a)=\sum_{j=0}^n(a_j\cos j\alpha+b_j \sin j\alpha)
Sử dụng kết quả sau: giả thiết đa thức P_{n-1}(x) thỏa đk n\ge 1 thì |P_{n-1}(x)|\le n\forall x\in [-1;1]
ta được |\sin \alpha f'_n(\cos \alpha)|\le n\Rightarrow \sqrt{1-x^2}|\frac{P'_n(x)}{n}|\le 1
Sử dụng tiếp kết quả trên ta có |\frac{P'_n(x)}{n}|\le n \Rightarrow |P'(x)|\le n^2
Từ đây ta có điều cần chứng minh. \blacksquare

Không có nhận xét nào:

Copyright © 2012 - 2025
Mudim v0.8 Tắt VNI Telex Viqr Tổng hợp Tự động Chính tảBỏ dấu kiểu mới [ Bật/Tắt (F9) Ẩn/Hiện (F8) ]