Chứng minh rằng: \forall x mà |x| \le 1 thì |P'(x)| \le n^2.
Định lý Berstein -Markow
Lời giải Đặt x=\cos a theo giả thiết |P(\cos a|\le 1
P(\cos a) có dạng P(\cos a)=\sum_{j=0}^n(a_j\cos j\alpha+b_j \sin j\alpha)
Sử dụng kết quả sau: giả thiết đa thức P_{n-1}(x) thỏa đk n\ge 1 thì |P_{n-1}(x)|\le n\forall x\in [-1;1]
ta được |\sin \alpha f'_n(\cos \alpha)|\le n\Rightarrow \sqrt{1-x^2}|\frac{P'_n(x)}{n}|\le 1
Sử dụng tiếp kết quả trên ta có |\frac{P'_n(x)}{n}|\le n \Rightarrow |P'(x)|\le n^2
Từ đây ta có điều cần chứng minh. \blacksquare
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét