Đề giải tích 1 năm học 2014-2015

Đề - đáp án giải tích 1 khoa  năm học 2014-2015

Lưu ý: Lời giải chỉ mang tính chất tham khảo, không phải là đáp án chính thức !!!!

Bài 1 (3 đ) Tính các giới hạn
a) $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}$$
b) $$\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{x\arctan x}{x^2+1}$$



Giải
a)
 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}$
Theo khai triển Taylor ta có
$\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+O(x^2)$
Do đó $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{x-\frac{1}{2}x^2-x}{x^2}=-\frac{1}{2}$$
b)
Ta có $x.\arctan x=x^2$
Do đó $$\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{x\arctan x}{x^2+1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{x^2}{1+x^2}=0$$
Bài 2: (2 điểm)
Tìm a,b để hàm số khả vi tại $x=1$
$$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{{x^2} + 1}},x > 1\\ ax + b,x \le 1 \end{array} \right.$$
Giải
Hiển nhiên hàm số có đạo hàm $\forall x\in R \setminus \{ 1\}$
Xét tại $x=1$
$f(1^+)=\frac{1}{2}; f(1^-)=a+b$
Để hàm số liên tục tại $x=1$ ta có
$f(1^+)=f(1^-)$
$\Leftrightarrow a+b=\frac{1}{2}$
Lại có $f'(1^+)=f'(1^-)$
$\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}$
Vậy $a=-\frac{1}{2};b=\frac{1}{4}$.

Bài 3: (2 điểm)
Tìm đạo hàm cấp 1,2,...n của $y=\sin^2x$
Ta có $y=\frac{1-\cos 2x}{2}$
Đặt $g(x)=\cos 2x$
$g'(x)=-2\sin 2x=\cos (2x+\frac{\pi}{2})$
$g''(x)=(-2\sin 2x)'=-2^2\cos 2x=2^2\cos (2x+\pi)$
$g'''(x)=2^3\sin 2x=2^3 \cos\left(2x+\frac{3\pi}{2} \right )$
$...$

Dự đoán $g^(n)=2^n.\cos\left(2x+\frac{n\pi}{2} \right );\forall x\in \mathbb{N}$
Bằng quy nạp ta chứng minh được điều này đúng .
Vậy $$y^{(n)}=-2^{n-1} .\cos\left(2x+\frac{n\pi}{2} \right );\forall x\in \mathbb{N}$$
(Lưu ý khi đi thi phải chứng minh rõ ra!!)

Bài 4 (3 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
$$f(x)=\frac{x^2+x}{x^2+1}$$
Giải
Đặt $A=f(x)$
Ở đây ta có 2 cách 1 là dùng KSHS 2 là dùng miền giá trị
Ở đây mình dùng phương pháp miền giá trị
Ta có $A=\frac{x^2+x}{x^2+1}$
$$\Leftrightarrow Ax^2+A=x^2+x$$
$$\Leftrightarrow x^2(A-1)-x+A=0$$
Nếu $A=1$ thì $x=1$
Nếu $A \neq 1$
$\Delta = 1-4A(A-1)=1-4A^2+4A$
Điều kiện để phương trình có nghiệm là $\Delta \ge 0$
$\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{2}}{2}\le A\le \frac{1+\sqrt{2}}{2}$
A đạt min $= \frac{1-\sqrt{2}}{2}$ khi $x=1-\sqrt{2}$
A đạt max $= \frac{1+\sqrt{2}}{2}$ khi $x=1+\sqrt{2}$