Đề - đáp án giải tích 1 khoa năm học 2014-2015
Lưu ý: Lời giải chỉ mang tính chất tham khảo, không phải là đáp án chính thức !!!!
a) \lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}
b) \lim\limits_{x\to +\infty} \frac{x\arctan x}{x^2+1}
Giải
a)
\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}
Theo khai triển Taylor ta có
\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+O(x^2)
Do đó \lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{x-\frac{1}{2}x^2-x}{x^2}=-\frac{1}{2}
b)
Ta có x.\arctan x=x^2
Do đó \lim\limits_{x\to +\infty} \frac{x\arctan x}{x^2+1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{x^2}{1+x^2}=0
Bài 2: (2 điểm)
Tìm a,b để hàm số khả vi tại x=1
f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{{x^2} + 1}},x > 1\\ ax + b,x \le 1 \end{array} \right.
Giải
Hiển nhiên hàm số có đạo hàm \forall x\in R \setminus \{ 1\}
Xét tại x=1
f(1^+)=\frac{1}{2}; f(1^-)=a+b
Để hàm số liên tục tại x=1 ta có
f(1^+)=f(1^-)
\Leftrightarrow a+b=\frac{1}{2}
Lại có f'(1^+)=f'(1^-)
\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}
Vậy a=-\frac{1}{2};b=\frac{1}{4}.
Bài 3: (2 điểm)
Tìm đạo hàm cấp 1,2,...n của y=\sin^2x
Ta có y=\frac{1-\cos 2x}{2}
Đặt g(x)=\cos 2x
g'(x)=-2\sin 2x=\cos (2x+\frac{\pi}{2})
g''(x)=(-2\sin 2x)'=-2^2\cos 2x=2^2\cos (2x+\pi)
g'''(x)=2^3\sin 2x=2^3 \cos\left(2x+\frac{3\pi}{2} \right )
...
Dự đoán g^(n)=2^n.\cos\left(2x+\frac{n\pi}{2} \right );\forall x\in \mathbb{N}
Bằng quy nạp ta chứng minh được điều này đúng .
Vậy y^{(n)}=-2^{n-1} .\cos\left(2x+\frac{n\pi}{2} \right );\forall x\in \mathbb{N}
(Lưu ý khi đi thi phải chứng minh rõ ra!!)
Bài 4 (3 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x)=\frac{x^2+x}{x^2+1}
Giải
Đặt A=f(x)
Ở đây ta có 2 cách 1 là dùng KSHS 2 là dùng miền giá trị
Ở đây mình dùng phương pháp miền giá trị
Ta có A=\frac{x^2+x}{x^2+1}
\Leftrightarrow Ax^2+A=x^2+x
\Leftrightarrow x^2(A-1)-x+A=0
Nếu A=1 thì x=1
Nếu A \neq 1
\Delta = 1-4A(A-1)=1-4A^2+4A
Điều kiện để phương trình có nghiệm là \Delta \ge 0
\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{2}}{2}\le A\le \frac{1+\sqrt{2}}{2}
A đạt min = \frac{1-\sqrt{2}}{2} khi x=1-\sqrt{2}
A đạt max = \frac{1+\sqrt{2}}{2} khi x=1+\sqrt{2}
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét