Đề thi giải tích 1 khoa CNTT SGU 2013-2014

Đề thi giải tích 1 khoa CNTT SGU 2013-2014

Bài 1:  Tính giới hạn
a) $\lim\limits_{x\to 1} \frac{\sqrt[3]{7+x^2}-\sqrt{3+x^2}}{x-1}$
Đặt $f(x)=\sqrt[3]{7+x^2}-\sqrt{3+x^2}$
$f'(x)=\frac{2x}{3.(x^2+7)^(2/3)}-\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$
$f'(1)=-\frac{1}{3}$
$f(1)=0$
$$\lim\limits_{x\to 1} \frac{\sqrt[3]{7+x^2}-\sqrt{3+x^2}}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)=-\frac{1}{3}$$
b) $\lim\limits_{x\to 0} \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-} \right )$
Áp dụng quy tắc L'Hospital ta có
 $$\lim\limits_{x\to 0} \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-} \right )=\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1-x}{x.e^x-x}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x.e^x+e^x-1}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x}{e^x+e^x+x.e^x}=\frac{1}{2}$$
c) $$\lim\limits_{x\to 0} (\cos x)^{\cot^2x}=\lim\limits_{x\to 0}(1+\cos x-1)^{\frac{\cot^2 x}{\cos x-1}.(\cos x-1)}=\lim\limits_{x\to 0}e^{\frac{\cos^2 x(\cos x-1)}{\sin^2 x}}=\lim\limits_{x\to 0}e^{\frac{-\cos^2}{1+\cos x}}=e^{-\frac{1}{2}}$$
d) $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$
Theo khai triển Maclaurin ta có
$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+O(x^3)$
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+O(x^3)$
$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x+\frac{x^3}{3}-x+\frac{x^3}{6}}{x^3}=\frac{1}{2}$$
Bài 2: $$f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{2}{x}(1-\sqrt{1+x}),\;\; x\neq 0\\
\ln(k+1),\; x=0
\end{matrix}\right.$$
Xác định $k$ để hàm số $f$ liên tục tại $x=0$.

Dễ thấy hàm số liên tục với mọi $x\neq 0$.

Tại $x=0$

$f(0)=\ln(k+1)$

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{2}{x}(1-\sqrt{1+x})=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2-2\sqrt{1+x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2-2(1+\frac{x}{2})}{x}=-1$$

Để hàm số liên tục tại $x=0$ thì $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=f(0)$ hay

$-1=\ln(k+1) \iff k=\frac{1}{e}-1$

Bài 3: Dựa vào khái niệm vi phân của hàm số để tính sấp xỉ
$A=\sqrt[3]{7,9964}$
Đặt $f(x)=\sqrt[3]{x}$
$A=\sqrt[3]{8-0,0036}=2\sqrt[3]{1-\frac{9}{20000}}$
Đặt $x_0=1;\Delta x=-\frac{9}{2000}$ ta có
$$f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$$
$f'(x_0)=\frac{1}{3};f(x_0)=1$
$$A=2(f(x_0)+f'(x_0)\Delta x)=2.\left(1+\frac{1}{3}.\frac{-9}{20000} \right )=1,9997$$
Bài 4: Vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{x^2}{e^x}$