Đề thi giải tích 1 khoa CNTT SGU 2013-2014
Bài 1: Tính giới hạna) \lim\limits_{x\to 1} \frac{\sqrt[3]{7+x^2}-\sqrt{3+x^2}}{x-1}
Đặt f(x)=\sqrt[3]{7+x^2}-\sqrt{3+x^2}
f'(x)=\frac{2x}{3.(x^2+7)^(2/3)}-\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}
f'(1)=-\frac{1}{3}
f(1)=0
\lim\limits_{x\to 1} \frac{\sqrt[3]{7+x^2}-\sqrt{3+x^2}}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)=-\frac{1}{3}
b) \lim\limits_{x\to 0} \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-} \right )
Áp dụng quy tắc L'Hospital ta có
\lim\limits_{x\to 0} \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-} \right )=\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1-x}{x.e^x-x}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x.e^x+e^x-1}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x}{e^x+e^x+x.e^x}=\frac{1}{2}
c) \lim\limits_{x\to 0} (\cos x)^{\cot^2x}=\lim\limits_{x\to 0}(1+\cos x-1)^{\frac{\cot^2 x}{\cos x-1}.(\cos x-1)}=\lim\limits_{x\to 0}e^{\frac{\cos^2 x(\cos x-1)}{\sin^2 x}}=\lim\limits_{x\to 0}e^{\frac{-\cos^2}{1+\cos x}}=e^{-\frac{1}{2}}
d) \lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}
Theo khai triển Maclaurin ta có
\tan x=x+\frac{x^3}{3}+O(x^3)
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+O(x^3)
\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x+\frac{x^3}{3}-x+\frac{x^3}{6}}{x^3}=\frac{1}{2}
Bài 2: f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{2}{x}(1-\sqrt{1+x}),\;\; x\neq 0\\ \ln(k+1),\; x=0 \end{matrix}\right.
Xác định k để hàm số f liên tục tại x=0.
Dễ thấy hàm số liên tục với mọi x\neq 0.
Tại x=0
f(0)=\ln(k+1)
\lim\limits_{x\to 0}\frac{2}{x}(1-\sqrt{1+x})=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2-2\sqrt{1+x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2-2(1+\frac{x}{2})}{x}=-1
Để hàm số liên tục tại x=0 thì \lim\limits_{x\to 0}f(x)=f(0) hay
-1=\ln(k+1) \iff k=\frac{1}{e}-1
Bài 3: Dựa vào khái niệm vi phân của hàm số để tính sấp xỉ
A=\sqrt[3]{7,9964}
Đặt f(x)=\sqrt[3]{x}
A=\sqrt[3]{8-0,0036}=2\sqrt[3]{1-\frac{9}{20000}}
Đặt x_0=1;\Delta x=-\frac{9}{2000} ta có
f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)\Delta x
f'(x_0)=\frac{1}{3};f(x_0)=1
A=2(f(x_0)+f'(x_0)\Delta x)=2.\left(1+\frac{1}{3}.\frac{-9}{20000} \right )=1,9997
Bài 4: Vẽ đồ thị hàm số y=\frac{x^2}{e^x}
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét