Trích đề thi thử THPT Chuyên Lê Hồng Phong THPT
Lời giải
Thông thường với những bài bất đẳng thức có điều kiện phức tạp ta thường tìm cách biến đổi nó để thu được một biểu thức đẹp đẽ hơn.
Ở bài toán này ta dự đoán dấu "=" xảy ra khi $x=y=1;z=2$. Đây cũng là 1 chìa khóa để ta giải quyết bài toán.
Quan sát giả thiết vế trái ta có: $(x+y)^2+z^2\le 2(x+y+z)$ cái này đúng dạng của BĐT Schwarz
Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta có $$\frac{(x+y+z)^2}{2}\le (x+y)^2+z^2\le 2(x+y+z)$$
Giải bất phương trình $$\frac{(x+y+z)^2}{2}\le 2(x+y+z)$$
Ta thu được $$0\ge x+y+z \le 4$$
Bây giờ tới xử lý cái biểu thức $P$ đây là phần khó nhất của bài toán....
Quan sát thấy phân số $\frac{40}{\sqrt{y+z+1}}+\frac{40}{\sqrt{x+3}}$ có cùng tử là $40$ nên ta nghĩ ngay $40$ làm nhân tử chung $$\frac{40}{\sqrt{y+z+1}}+\frac{40}{\sqrt{x+3}}=40.\left(\frac{1}{\sqrt{y+z+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+3}} \right )$$
Tới đây xuất hiện đại lượng $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ ta nghĩ ngay tới BĐT $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$$
Áp dụng ta có: $$40.\left(\frac{1}{\sqrt{y+z+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+3}} \right )\geq \frac{160}{\sqrt{y+z+1}+\sqrt{x+3}}$$
Tới đây ta tìm cách bỏ căn thức bằng cách BĐT Cauchy-Schwarz $$1.\sqrt{y+z+1}+1.\sqrt{x+3}\le \sqrt{(1^2+1^2)(x+y+z+4)}=\sqrt{2}.\sqrt{x+y+z+4}$$
$$\Rightarrow \frac{40}{\sqrt{y+z+1}}+\frac{40}{\sqrt{x+3}}\ge \frac{160}{\sqrt{2(x+y+z+4)}}$$
Tới đây bài toán vẫn còn phức tạp
ta còn phải xử lý đại lượng $x^2+y^2+2z$
Biến đổi giả thiết ban đầu ta có: $$z^2-2+2xy\le (x-1)^2+(y-1)^2+z^2-2+2xy\le 2z$$
Bây giờ đã xuất hiện cái $2z$ ta chỉ cần thay vào
$x^2+y^2+2z\ge (x+y)^2+z^2-2 \ge \frac{(x+y+z)^2}{2}-2$Tới đây $P$ trở thành $$P\ge \frac{(x+y+z)^2}{2}+\frac{160}{\sqrt{2(x+y+z+4)}}-2$$
Đặt $t=x+y+z (0\ge t\le 4)$
$$P\ge \frac{t^2}{2}+\frac{160}{\sqrt{2(t+4)}}-2\; (t\in (0;4))$$
Khảo sát hàm số này ta có
$Min P=46$ khi đó $x=y=1;z=2$. $\blacksquare$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét