Processing math: 2%

Chủ Nhật, 9 tháng 6, 2013

Tìm GTNN của biểu thức P=x^2+y^2+2z+\frac{40}{\sqrt{y+z+1}}+\frac{40}{\sqrt{x+3}}

Cho x,y,z thực thỏa mãn x^2+y^2+z^2+2xy\le 2(x+y+z). Tìm GTNN của biểu thức P=x^2+y^2+2z+\frac{40}{\sqrt{y+z+1}}+\frac{40}{\sqrt{x+3}}

Trích đề thi thử THPT Chuyên Lê Hồng Phong THPT



Lời giải
Thông thường với những bài bất đẳng thức có điều kiện phức tạp ta thường tìm cách biến đổi nó để thu được một biểu thức đẹp đẽ hơn.
Ở bài toán này ta dự đoán dấu "=" xảy ra khi x=y=1;z=2. Đây cũng là 1 chìa khóa để ta giải quyết bài toán.

Quan sát giả thiết vế trái ta có: (x+y)^2+z^2\le 2(x+y+z) cái này đúng dạng của BĐT Schwarz

Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta có \frac{(x+y+z)^2}{2}\le (x+y)^2+z^2\le 2(x+y+z)

Giải bất phương trình \frac{(x+y+z)^2}{2}\le 2(x+y+z)

Ta thu được 0\ge x+y+z \le 4

Bây giờ tới xử lý cái biểu thức P đây là phần khó nhất của bài toán....
Quan sát thấy phân số \frac{40}{\sqrt{y+z+1}}+\frac{40}{\sqrt{x+3}} có cùng tử là 40 nên ta nghĩ ngay 40 làm nhân tử chung \frac{40}{\sqrt{y+z+1}}+\frac{40}{\sqrt{x+3}}=40.\left(\frac{1}{\sqrt{y+z+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+3}} \right )
Tới đây xuất hiện đại lượng \frac{1}{a}+\frac{1}{b} ta nghĩ ngay tới BĐT \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}

Áp dụng ta có: 40.\left(\frac{1}{\sqrt{y+z+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+3}} \right )\geq \frac{160}{\sqrt{y+z+1}+\sqrt{x+3}}

Tới đây ta tìm cách bỏ căn thức bằng cách BĐT Cauchy-Schwarz  1.\sqrt{y+z+1}+1.\sqrt{x+3}\le \sqrt{(1^2+1^2)(x+y+z+4)}=\sqrt{2}.\sqrt{x+y+z+4}
\Rightarrow \frac{40}{\sqrt{y+z+1}}+\frac{40}{\sqrt{x+3}}\ge \frac{160}{\sqrt{2(x+y+z+4)}}
Tới đây bài toán vẫn còn phức tạpta còn phải xử lý đại lượng x^2+y^2+2z
Biến đổi giả thiết ban đầu ta có: z^2-2+2xy\le (x-1)^2+(y-1)^2+z^2-2+2xy\le 2z
Bây giờ đã xuất hiện cái 2z ta chỉ cần thay vào
x^2+y^2+2z\ge (x+y)^2+z^2-2 \ge \frac{(x+y+z)^2}{2}-2

Tới đây P trở thành P\ge \frac{(x+y+z)^2}{2}+\frac{160}{\sqrt{2(x+y+z+4)}}-2

Đặt t=x+y+z (0\ge t\le 4)
P\ge \frac{t^2}{2}+\frac{160}{\sqrt{2(t+4)}}-2\; (t\in (0;4))
Khảo sát hàm số này ta có
 Min P=46 khi đó x=y=1;z=2. \blacksquare

Không có nhận xét nào:

Copyright © 2012 - 2025