ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN DỰ IMO 2013

 ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN DỰ IMO 2013

Ngày 1. 

Bài 1.Cho $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất bộ $n+2$ số thực $(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n, \alpha_{n+1})$ thỏa mãn $\alpha_0=\alpha_{n+1}=0,$ $|\alpha_i|\le\frac{\pi}{6}$ và $1+\sin\alpha_{i+1}+3\sin\alpha_{i-1}=10\sin\alpha_i-2\sin 3\alpha_i$ $\forall i=\overline{1,n}.$
 

Bài 2.Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp. Giả sử $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,BD,$ $E,F$ lần lượt là giao điểm của $AB$ với $CD,$ $AD$ với $BC.$ Chứng minh rằng
$$\frac{2MN}{EF}=\left|\frac{AC}{BD}-\frac{BD}{AC}\right|.$$

Bài 3.Cho dãy số $\{u_n\}_{n=1}^{\infty}$ xác định bởi
$$u_1=1,u_2=11,u_{n+2}=u_{n+1}+5u_n\;\;\forall n\in\mathbb{Z}^{+}.$$
Chứng minh rằng $u_n$ không là số chính phương với mọi $n>3.$

Ngày 2.

Bài 1. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn
$$\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)=0,$$
$$f(x)f(x^{1959}+x^{54})=f(x^{2013}+x)\;\;\forall x\in\mathbb{R}.$$

Bài 2. Cho đường tròn $(O,R)$ và điểm $A$ cố định trên đường tròn này. Giả sử $B,C$ là các điểm thay đổi trên $(O)$ sao cho $\angle BAC=\alpha$ không đổi. Trên các tia $BA,CA$ lần lượt lấy $E,F$ sao cho $BE=BC=CF.$
a) Gọi $\rho$ là bán kính của $(AEF).$ Chứng minh rằng
$$\rho\ge R\frac{\left|\sin\left(\frac{\pi-3\alpha}{4}\right)\right|}{\sin\left(\frac{\pi+ \alpha}{4}\right)}.$$
b) Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm các cung $AB$ không chứa $C$ và $AC$ không chứa $B$ của $(O).$ Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng qua $O$ vuông góc với $EF$ với $AB$ và $AC.$ Chứng minh rằng giao điểm của $PM$ và $QN$ luôn thuộc một đường tròn cố định.

Bài 3.Cho một bảng chữ cái gồm $29$ chữ cái. Một dãy liên tiếp các chữ cái được gọi là một từ. Với mỗi $n$ nguyên dương, đặt $X_n$ là tập các từ có $n$ chữ cái. Xét hàm số $f:X_n\to X_2$ xác định như sau: với mỗi một từ thuộc $X_n,$ ta bỏ đi $n-2$ chữ cái bất kỳ trong từ đó để được một từ thuộc $X_2.$ Với mỗi hàm số f như thế, đặt $V(f)$ là tập các giá trị của $f.$ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $|V(f)|$ trong các trường hợp sau
a) $n=3.$
b) $n=4.$

Ngày 3.

Bài 1. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p$ sao cho đa thức sau
$$x^n-px+p^2$$
có thể phân tích được thành tích của hai đa thức hệ số nguyên với bậc ít nhất bằng $1.$
Bài 2. Cho dãy số $\{x_n\}_{n=0}^{\infty}$ xác định như sau
$$x_0=2, x_{n+1}=\left \lfloor\sqrt{2x_n(x_n+1)} \right \rfloor\;\;\forall n\in\mathbb{N}.$$
Chứng minh rằng $x_{2n}=2^n+\lfloor 2^n\sqrt{2}\rfloor$ và $x_{2n+1}=2^{n+1}+\lfloor 2^n\sqrt{2}\rfloor$ với mọi $n\in\mathbb{N}.$

Bài 3. Cho hình vuông $ABCD$ và $2009$ điểm bên trong hình vuông sao cho không có ba điểm nào trong $2013$ điểm này thằng hàng (gồm $2009$ điểm bên trong hình vuông và cả bốn điểm $A,B,C,D$). Ta nối một số điểm bên trong hình vuông (và cả các đỉnh $A,B,C,D$) lại để chia hình vuông thành các tam giác. Mỗi một đoạn nối như thế được gọi là một cạnh. Một đường đi từ điểm này đến điểm kia mà đi qua các cạnh liên tiếp được gọi là một đường gấp khúc.
Xét một cách chia $2013$ điểm trên thành hai tập $X$ và $Y$ sao cho $A,C\in X$ và $B,D\in Y.$ Chứng minh rằng: hoặc tồn tại một đường gấp khúc đi từ $A$ tới $C$ mà chỉ đi qua các đỉnh trong $X$ hoặc tồn tại một đường gấp khúc đi từ $B$ tới $D$ mà chỉ đi qua các đỉnh trong $Y.$