Bài toán 1: Chứng minh rằng:
\prod_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \le \left(\frac{2^{n}-2}{n-1} \right)^{n-1};\forall n \ge 2
Lời giải
\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1 \Rightarrow \binom{n}{0}.\binom{n}{1}...\binom{n}{n}=\binom{n}{1}\binom{n}{2}...\binom{n}{n-1}
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
\large{\prod_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \le \begin{pmatrix} \frac{\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n-1}{n}}{n-1} \end{pmatrix}^{n-1}}
\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}=2^n\Rightarrow \binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n-1}{n}=2^n-2
Do đó \prod_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \le \left(\frac{2^{n}-2}{n-1} \right)^{n-1};\forall n \ge 2
Bài toán 2: Chứng minh BĐT sau:
\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}^{\frac{1}{2}} \le \sqrt{n(2^{n}-1)}
Ký hiệu \binom{n}{k} để chỉ tổ hợp chập k của n phần tử.
Lời giải
Ta có bổ đề sau \sqrt {{a_1}} + \sqrt {{a_2}} + ... + \sqrt {{a_n}} \le \sqrt {n({a_1} + {a_2} + ... + {a_n})}
Áp dụng \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}^{\frac{1}{2}} \le \sqrt{n.(\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n})}
Lại có \binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}=2^n-1
Từ đây ta có điều phải chứng minh. \blacksquare
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét