Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js

Chủ Nhật, 9 tháng 12, 2012

Chứng minh rằng: \prod_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \le \left(\frac{2^{n}-2}{n-1} \right)^{n-1};\forall n \ge 2

Bài toán 1:  Chứng minh rằng:
\prod_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \le \left(\frac{2^{n}-2}{n-1} \right)^{n-1};\forall n \ge 2
Lời giải
\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1 \Rightarrow \binom{n}{0}.\binom{n}{1}...\binom{n}{n}=\binom{n}{1}\binom{n}{2}...\binom{n}{n-1}
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
\large{\prod_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \le \begin{pmatrix} \frac{\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n-1}{n}}{n-1} \end{pmatrix}^{n-1}}
\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}=2^n\Rightarrow \binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n-1}{n}=2^n-2
Do đó \prod_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \le \left(\frac{2^{n}-2}{n-1} \right)^{n-1};\forall n \ge 2
Bài toán 2: Chứng minh BĐT sau:
\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}^{\frac{1}{2}} \le \sqrt{n(2^{n}-1)}
Ký hiệu \binom{n}{k} để chỉ tổ hợp chập k của n phần tử.
Lời giải
Ta có bổ đề sau \sqrt {{a_1}}  + \sqrt {{a_2}}  + ... + \sqrt {{a_n}}  \le \sqrt {n({a_1} + {a_2} + ... + {a_n})}
Áp dụng \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}^{\frac{1}{2}} \le \sqrt{n.(\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n})}
Lại có \binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}=2^n-1
Từ đây ta có điều phải chứng minh. \blacksquare

Không có nhận xét nào:

Copyright © 2012 - 2025
Mudim v0.8 Tắt VNI Telex Viqr Tổng hợp Tự động Chính tảBỏ dấu kiểu mới [ Bật/Tắt (F9) Ẩn/Hiện (F8) ]