Chứng minh rằng: $\prod_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \le \left(\frac{2^{n}-2}{n-1} \right)^{n-1};\forall n \ge 2$

Bài toán 1:  Chứng minh rằng:
$$\prod_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \le \left(\frac{2^{n}-2}{n-1} \right)^{n-1};\forall n \ge 2$$
Lời giải
$$\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1 \Rightarrow \binom{n}{0}.\binom{n}{1}...\binom{n}{n}=\binom{n}{1}\binom{n}{2}...\binom{n}{n-1}$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
$$\large{\prod_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \le \begin{pmatrix}
\frac{\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n-1}{n}}{n-1}
\end{pmatrix}^{n-1}}$$
$$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}=2^n\Rightarrow \binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n-1}{n}=2^n-2$$
Do đó $$\prod_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \le \left(\frac{2^{n}-2}{n-1} \right)^{n-1};\forall n \ge 2$$
Bài toán 2: Chứng minh BĐT sau:
$$\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}^{\frac{1}{2}} \le \sqrt{n(2^{n}-1)}$$
Ký hiệu $\binom{n}{k}$ để chỉ tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử.
Lời giải
Ta có bổ đề sau \[\sqrt {{a_1}}  + \sqrt {{a_2}}  + ... + \sqrt {{a_n}}  \le \sqrt {n({a_1} + {a_2} + ... + {a_n})} \]
Áp dụng $$\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}^{\frac{1}{2}} \le \sqrt{n.(\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n})}$$
Lại có $\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}=2^n-1$
Từ đây ta có điều phải chứng minh. $\blacksquare$