Giải hệ phương trình sau:
\left\{ \begin{align} &
\frac{{{x}^{2}}-yz}{2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}-xz}{2{{y}^{2}}+{{x}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}-xy}{2{{z}^{2}}+{{y}^{2}}+{{x}^{2}}}=0
\\ & {{x}^{2}}y+{{y}^{2}}z-\left( \frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+2\sqrt{yz}+4\sqrt{xz} \right)=5 \\ \end{align} \right.
Lời giải
Ta
sẽ chứng minh
\frac{{{x}^{2}}-yz}{2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}-xz}{2{{y}^{2}}+{{x}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}-xy}{2{{z}^{2}}+{{y}^{2}}+{{x}^{2}}}\geq
0
Để ý rằng: \frac{2(x^2-yz)}{2x^2+y^2+z^2}=1-\frac{(y+z)^2}{2x^2+y^2+z^2}
Thiết lập các biểu thức còn lại tương tự. Ta quy về chứng minh
3\geq \frac{(y+z)^2}{2x^2+y^2+z^2}+\frac{(x+z)^2}{2y^2+z^2+x^2}+\frac{(x+y)^2}{2z^2+x^2+y^2}
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
\sum \frac{(y+z)^2}{(x^2+y^2)+(y^2+z^2)}\leq \sum (\frac{y^2}{x^2+y^2}+\frac{z^2}{z^2+y^2})=3=VP
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
Thay vào hệ (2) ta có 2y^3=12\Leftrightarrow y=\sqrt[3]{6}
Vậy hệ có nghiệm \boxed{x=y=z=\sqrt[3]{6}}
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét