Giải hệ $\left\{ \begin{align} & \frac{{{x}^{2}}-yz}{2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}-xz}{2{{y}^{2}}+{{x}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}-xy}{2{{z}^{2}}+{{y}^{2}}+{{x}^{2}}}=0 \\ & {{x}^{2}}y+{{y}^{2}}z-\left( \frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+2\sqrt{yz}+4\sqrt{xz} \right)=5 \\ \end{align} \right.$

Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{ \begin{align}
  & \frac{{{x}^{2}}-yz}{2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}-xz}{2{{y}^{2}}+{{x}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}-xy}{2{{z}^{2}}+{{y}^{2}}+{{x}^{2}}}=0 \\
& {{x}^{2}}y+{{y}^{2}}z-\left( \frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+2\sqrt{yz}+4\sqrt{xz} \right)=5 \\
\end{align} \right.$$ 
Lời giải
Ta sẽ chứng minh $$\frac{{{x}^{2}}-yz}{2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}-xz}{2{{y}^{2}}+{{x}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}-xy}{2{{z}^{2}}+{{y}^{2}}+{{x}^{2}}}\geq 0$$
Để ý rằng: $\frac{2(x^2-yz)}{2x^2+y^2+z^2}=1-\frac{(y+z)^2}{2x^2+y^2+z^2}$
Thiết lập các biểu thức còn lại tương tự. Ta quy về chứng minh
$$3\geq \frac{(y+z)^2}{2x^2+y^2+z^2}+\frac{(x+z)^2}{2y^2+z^2+x^2}+\frac{(x+y)^2}{2z^2+x^2+y^2}$$
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
$\sum \frac{(y+z)^2}{(x^2+y^2)+(y^2+z^2)}\leq \sum (\frac{y^2}{x^2+y^2}+\frac{z^2}{z^2+y^2})=3=VP$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$
Thay vào hệ (2) ta có $2y^3=12\Leftrightarrow y=\sqrt[3]{6}$
Vậy hệ có nghiệm $\boxed{x=y=z=\sqrt[3]{6}}$