Thứ Sáu, 17 tháng 5, 2013

Lời giải + Bình luận câu BĐT Khối A -2012

Câu BĐT Khối A -2012

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=3^{|x-y|}+3^{|y-z|}+3^{|z-x|}-\sqrt{6x^2+6y^2+6z^2}$$


Nhận xét: Với giả thiết và yêu cầu đề bài ta dự đoán ngay được giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $3$ đạt được khi $x=y=z=0$, nhìn thấy dấu giá trị tuyệt đối làm ta liên tưởng tới bất đẳng thức trị tuyệt đối $|a|+|b| \ge |a+b|$. Cái này dự đoán được bởi vì vai trò các biến đối xứng, thêm nữa chúng ta vững tin hơn bởi vì đây là đề thi Đại Học

 Lời giải Ta chứng minh ${3^t} \ge t + 1(*)$ Xét hàm $f(t) = {3^t} - t - 1$ Có $f'(t) = {3^t}\ln 3 - 1 > 0,\forall t \ge 0$ và $f(t) = 0$ nên (*) đúng Áp dụng (*) $${3^{\left| {x - y} \right|}} + {3^{\left| {y - z} \right|}} + {3^{\left| {z - x} \right|}} \ge 3 + \left| {x - y} \right| + \left| {y - z} \right| + \left| {z - x} \right|$$ Áp dụng bất đẳng thức: $\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|$ ta có: $${\left( {\left| {x - y} \right| + \left| {y - z} \right| + \left| {z - x} \right|} \right)^2} = {\left| {x - y} \right|^2} + {\left| {y - z} \right|^2} + {\left| {z - x} \right|^2} + \left| {x - y} \right|\left( {\left| {y - z} \right| + \left| {z - x} \right|} \right) $$ $$+ \left| {y - z} \right|\left( {\left| {x - y} \right| + \left| {z - x} \right|} \right) + \left| {z - x} \right|\left( {\left| {x - y} \right| + \left| {y - z} \right|} \right) \ge 2\left( {{{\left| {x - y} \right|}^2} + {{\left| {y - z} \right|}^2} + {{\left| {z - x} \right|}^2}} \right)$$ Do đó: $$\left| {x - y} \right| + \left| {y - z} \right| + \left| {z - x} \right| \ge \sqrt {2\left( {{{\left| {x - y} \right|}^2} + {{\left| {y - z} \right|}^2} + {{\left| {z - x} \right|}^2}} \right)} = \sqrt {6{x^2} + 6{y^2} + 6{z^2} - 2{{\left( {x + y + z} \right)}^2}} $$ Mà $x + y + z = 0$ suy ra $$\left| {x - y} \right| + \left| {y - z} \right| + \left| {z - x} \right| \ge \sqrt {6{x^2} + 6{y^2} + 6{z^2}} $$ Suy ra $$P = {3^{\left| {x - y} \right|}} + {3^{\left| {y - z} \right|}} + {3^{\left| {z - x} \right|}} - \sqrt {6{x^2} + 6{y^2} + 6{z^2}} \ge 3$$ Khi $x = y = z = 0$ thì dấu bằng xảy ra, vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3.

Bình luận: Mấu chốt giải bài toán nằm ở việc chứng minh bổ đề $3^t \ge t+1$ với mọi $t\ge 0$.

 Thật ra hướng gợi mở ta đến về bài toán đó hoàn toàn là có căn cứ khi ta gặp số mũ kì lạ như thế này, ta tìm cách đưa số mũ đó xuống,nhưng quan trọng là xuống với lượng bao nhiêu. Thiết nghĩ đề thi lần này đánh đố rất cao, hướng dùng bổ đề nên cho kì thi học sinh giỏi thì hơn. Chúng tôi xin trình bày một cách nghĩ ra bổ đề "từ trên trời rơi xuống" này. Trong các biểu thức cần đánh giá cực trị trong đó có các hàm số siêu việt (hàm mũ) và các bài toán đại số. Ý tưởng đầu tiên ta phải tìm cách làm "rơi mũ" xuống bằng phương pháp đánh giá tiếp tuyến (1 phương pháp kinh điển trong các bài toán phi tuyến). Nhận thấy $f(x)=3^x$ là hàm lõm. Ta sử dụng bất đẳng thức tiếp tuyến $$f(x)\ge f(0)+(x-0)f'(0) \Leftrightarrow 3^x \ge 1+x\ln 3$$ Do $3>e$ cho nên ta có đánh giá $3^t \ge e^t ;\; \forall t\ge 0$ đồng thời nếu xét $f(x)=e^x-x-1$ trên $[0;+\infty)$ thì do $$f'(x)=e^x-1 \ge 0 ;\forall x \in [0;+\infty)$$ Nên từ tính chất hàm đồng biến ta có $f(x)\ge 0$ kết hợp lại ta có $$3^t \ge e^t \ge 1+t \forall t \ge 0$$

Không có nhận xét nào:

Copyright © 2012 -